Верно: обучалась в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины, являюсь членом общественного объединения.
Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Правильно: заезжай.
Здесь верно: Папа Римский; папа Франциск.
Запятая ставится (обособляется обращение).
Правильно: в санатории.
Решать этот вопрос должен "автор" уменьшительного имени, в зависимости от ударения. Буква О в окончании слова пишется под ударением, буква Е - в безударной позиции.
Можно сказать и так и так.