Формально это родительный падеж.
Да, согретому ласковым солнышком – причастный оборот, который необходимо выделить запятыми.
Оснований для постановки запятой нет: сочинительный союз да и соединяет однородные члены предложения.
Запятая не нужна. Запятая не ставится внутри выражений типа есть чем заняться, есть над чем поработать и т. д.