Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878. 

Правильно: о предоставлении.

Верно: семья Балицевич.

Ошибки нет. В конце не хватает точки.

В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.

Нужно склонять: тетрадь Деды Елены.

Запятая не нужна, нет оснований для ее постановки. Правильно: Просьба подписать договор и 1 экземпляр отправить по адресу... С несогласованными определениями, выраженными инфинитивом, связано (в других синтаксических конструкциях) такое правило: они отделяются посредством тире, если перед неопределенной формой глагола можно без ущерба для смысла поставить слова а именно. Ср.: У меня к вам единственная просьба – подписать договор.

Обособление возможно, но обязательным не является.

Эти сочетания могут выступать как контекстные синонимы (например, в публицистическом тексте), хотя юридически, вероятно, они не вполне равнозначны.

Названия высших государственных должностей и титулов пишутся с прописной буквы только в официальных текстах.