Воспользуйтесь, пожалуйста, учебным пособием Е. И. Литневской.
«Словарь русского капиталистического жаргона начала XXI века» В. С. Елистратова (М., 2013) дает такое определение жаргонному глаголу пушить: 'оказывать давление с какой-либо целью, стараться склонить к чему-либо, заставить сделать что-либо, а также прорабатывать, отчитывать' (от англ. to push в близких значениях). Но в приведенном Вами контексте вполне возможна замена такими словами: буду ее решать, вплотную займусь ею.
Возможны варианты пунктуационного оформления. Место запятой зависит от того, где ставится интонационная пауза.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
В современном русском языке в слове надежда приставка уже не выделяется. «Морфемно-орфографический словарь» А. Н. Тихонова предлагает такой вариант разбора: надежд-а. Исторически – да, это слово образовано от nadeti 'положить, поставить' – префиксального производного от *deti > деть 'класть, ставить'. Надежда буквально – 'то, на что полагаются'. Но это, подчеркиваем, исторический состав слова; при синхронном (современном) морфемном анализе выделение приставки на- и суффикса -жд- нецелесообразно.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Можем. Но думаем, что это задание Вам лучше выполнить самостоятельно.
Первая гласная непроверяемая, вторая проверяется словом шевЕлит.