В значении 'занятый, заполненный содержимым' требуется форма родительного падежа: две корзины, полные грибов.
Верно в зависимости от смысла: картофель, печенный с грибами и луком (= картофель, который пекли с грибами и луком); картофель печеный с грибами и луком (= печеный картофель + грибы и лук).
Вариант за водой, за грибами общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.
Запятые не требуются. Верно: Многие стоявшие в зале плакали.
Возможны варианты:
- картофель жареный с грибами и луком;
- картофель, жаренный с грибами и луком.
Если капуста тушилась отдельно от грибов, то Вы написали верно. Если капуста и грибы тушились вместе, то верно: капуста, тушенная с грибами.
Правильно: доукомплектовать.
Да, запятая в подобных случаях нужна: грудка цыпленка, фаршированная беконом и сыром; свинина, запеченная с томатами и грибами.
