Правильно раздельное написание: общественно значимый.
Да, правильно.
Следует писать без дефиса. Это словарная рекомендация.
Корректно дефисное написание: оперативно-выездная бригада.
Правильно раздельное написание: культурно значимые.
Действительно, нужно выбрать какое-то одно слово.
Пишутся раздельно словосочетания, состоящие из наречия и прилагательного или причастия: социально значимый.
Следует писать раздельно.