Лучше: не имея доступа.
В значении 'административный орган какого-либо учреждения, предприятия и т. п.' правильно: управление чего: управление метрополитена.
Корректно: талисман года.
Верно: тридцатисемиметровая.
Учительница неправа. Правильно: Дети запустили воздушного змея. Змей – одушевленное существительное (в т. ч. об игрушке). См.: А. А. Зализняк. Грамматический словарь русского языка. – 5-е изд., испр. – М., 2008.
Змей – одушевленное существительное во всех значениях (в т. ч. об игрушке).
Правильно: претензий не имеется.
Правилен первый вариант. Форма род. падежа мн. числа слова змей – змеев, а слова змея – змей. Ср.: Мы запускали воздушных змеев, но В низине много змей.