Следует писать раздельно: общественно активный.
Корректно: самых достойных студентов мы рекомендуем для прохождения практики в общественном объединении.
См. "Словарь трудностей".
Следует писать раздельно: общественно значимая деятельность.
Правильно раздельное написание: общественно значимый.
В современном русском языке эти слова однокоренными не являются. Однако этимологически они могут быть родственными: есть гипотеза (разделяемая, впрочем, не всеми лингвистами), что говно восходит к той же праславянской основе govedo 'крупный рогатый скот', что и говядина, и первоначально говно означало 'коровий помет'.
Сочетание утвержден членом общественной палаты употребляется только в значении "утвержден человеком, являющимся членом общественной палаты".
Ошибки нет.
