Поскольку «Адаптер» — название клуба, а не школы, то верно: школа (чья?) «Адаптера».
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Название без родового слова следует склонять: учитель «Ивановской основной школы» — филиала МБОУ «Петровская средняя школа».
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Контекст недостаточен для однозначного ответа. Сравним предположительно достроенное нами до полной структуры предложение: Власти решили определить школу органом, ответственным за обучение, родителей — пользователями услуги. Впрочем, возможно, в Вашем случае контекст иного рода и требует иной постановки знаков препинания.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Как правило, название пишется без кавычек, но уставом образовательной организации может быть предусмотрено и написание в кавычках. Т. е. нужно читать устав.
Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
