Лучше: нора была глубока, была глубокой.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте».
С термином река склоняются простые русские, славянские и освоенные названия: на реке Неве, на реке Висле (но: на реке Иртыш – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают).
Словосочетание корректно.
В соответствующем контексте - возможно.
Запятые не ставятся.