Основной вариант: К ним пришел молодой врач. Если автору важно подчеркнуть, что это женщина, и по контексту других способов нет (например, нет имени собственного), то возможно: К ним пришла молодая врач. Правила см. в "Письмовнике".

Мужчина может быть молодым, в самом расцвете сил, зрелым. Сочетание молодой мужчина корректно и широко употребляется (см. данные «Национального корпуса русского языка»). 

Задайте поиск в электронных словарях портала по начальным формам слов: дружный, верный и т. д.

Талант – неодушевленное существительное (в т. ч. о человеке). Правильно: поддержать молодые таланты.

Если это не имена собственные, нет оснований писать эти слова с большой буквы.

Самый молодой или самый младший.

Да, оба выражения корректны. Слово «дедушка» обозначает родственные отношения, а «старый» и «молодой» — это определения, указывающие на возраст. 

Корректно: на его месте, вместо него.