Правильно: на «Аэропорте». Обратите внимание: названия станций метрополитена пишутся в кавычках (в текстах, но не на картах и схемах и не на самих станциях).
Слово международный следует писать с маленькой буквы. Названия аэропортов справочные пособия рекомендуют писать без кавычек: международный аэропорт Симферополь.
Названия аэропортов справочные пособия рекомендуют писать без кавычек: аэропорт Платов.
Верно: в аэропорту Шереметьево, в Шереметьеве.
Географическое определение пишется с прописной буквы, только если входит в состав официального названия, например: Ростовский государственный университет. Правильно поэтому: ростовский аэропорт (т. к. официальное название: ОАО «Аэропорт Ростов-на-Дону»). Что касается Ростовского зоопарка, то, судя по источникам в Интернете, его официальное название именно таково (Ростовский зоопарк, МУП «Ростовский зоопарк»), а значит, здесь правильно написание с прописной.