Если название употребляется в тексте, кавычки нужны: У нас открыли магазин «Мила». В «Миле» самая вкусная кулинария.
Если название указывается на вывеске (без родового слова магазин), кавычки не ставятся.
Название склонять не следует: стартовал на «Ролан Гаррос».
Правильно: план дней открытых дверей.
Да, это обращения. Обратите внимание, что после слова гордыне не хватает запятой.
Корректно: чемпионат Франции по теннису «Ролан Гаррос». Обратите внимание на опечатку в слове теннис.
Да, это название заключается в кавычки.
Поскольку фамилия сопровождается двумя именами, мужским и женским, верно: Алан и Энн Смит.
Правильно: танец из «Мулен Руж». Обратите внимание: если всё это сочетание заключено в кавычки, верно такое оформление: «Танец из "Мулен Руж"». Кавычки одного рисунка рядом не повторяются.