Правильно: при поддержке фонда, при поддержке института.
Здесь нет ни слова о бесплатности услуги.
Такое оформление корректно.
Род этой аббревиатуры пока неустойчив:
Словарь трудностей русского языка
БРИКС [брикс], нескл., ж. — группа из пяти стран: Бразилия, Россия, Индия, Китай, Южно-Африканская Республика.
БРИКС [брикс], нескл., ср. — Бразилия, Россия, Индия, Китай, Южно-Африканская Республика — обобщённое наименование группы стран с быстрорастущей экономикой.
Верно: Этот материал обеспечивает хорошую поддержку позвоночника. Дательный падеж обычно используют при другом порядке слов: Этот материал обеспечивает позвоночнику хорошую поддержку.
Возможны оба варианта: техподдержка и тех. поддержка.
Правильно: официальная поддержка (чего?) мероприятия. Но: оказать поддержку (чему?) мероприятию.
Запятая не нужна. Поясняющее определение отделяется от поясняемого и не отделяется от определяемого слова: Любая, даже самая малая поддержка неоценима...
