Корректно: Московский регион.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Да, верно, за исключением того, что название этого магазина принято заключать в кавычки.
Есть как минимум два поселка с такими названиями, при этом ударение в них падает на разные слоги. В Тюменской области — Боровский, в Казахстане — Боровской.
Правильно: Московский международный кинофестиваль.
Правильно: Кремлевская стена (в Москве). О стене в других городах: кремлевская стена.
Словарь допускает оба варианта употребления.