Правильно: центр МРТ-диагностики, МРТ-аппарат. Пишутся через дефис сложные слова с первой частью – буквенной или звуковой аббревиатурой.
Запятая не нужна.
Корректны оба варианта.
Нет оснований для использования прописной буквы.
Запятая в этом предложении не нужна.
См. вопрос 295779.
Запятая не нужна. Не ставится запятая перед союзом и в сложносочиненном предложении, если в его состав входят вопросительные предложения.
Вне зависимости от способа расположения элементов перечня правильно так: включают... (что?): диагностику, проверку...
Предложение построено некорректно, поэтому дать рекомендации о пунктуации мы не можем. Возможный вариант: О диагностике газовых труб и о том, кто это должен делать.