Корректно: артист театра.
Корректно: 43-и международные соревнования.
Верно: Международный день "спасибо".
Верно написание строчными буквами, если это нарицательное наименование. В собственном наименовании первое слово пишется с большой буквы: Московский театр эстрады.
В русском языке возможны такие модели: театр «Альфред Жарри», Театр Альфреда Жарри. Важно, чтобы в одном тексте использовался один вариант, а не разные.
Правильно: Ковент-Гарден.
Если сочетание театр психологических игр – официальное название, то его первое слово нужно написать с заглавной буквы.