Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Корректно: И. п. лицея кубеба, Р. п. лицеи кубеба, Д. п. лицее кубеба, в. п. лицею кубеба, Т. п. лицеей кубеба, П. п. о лицее кубеба.
Если слова Лицей № 5 являются официальным названием муниципального образовательного учреждения (МОУ), то правильно: МОУ «Лицей № 5» г. Купеческа.
Написание в кавычках корректно.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
Корректно: школа № 1.
Существительное, указывающее на специализацию школы, ставится в родительном падеже: школа танцев, школа высшего спортивного мастерства, школа импровизации, школа вождения.
Орфографически правильно такое оформление: обозначение организационно-правовой формы и далее в кавычках — название самой организации. Правильно: муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «СОМШ № 44 имени Владимира Кудзоева», МБОУ «СОМШ № 44 имени Владимира Кудзоева», МБОУ «Лицей» и т. п.
