Правильно: может проводиться.
Оба варианта правильны. Слова надо и нужно синонимичны и взаимозаменяемы в любых контекстах.
Верно: занятия русским языком (в значении 'изучение языка') и занятия по русскому языку (в значении 'учебное время, посвященное русскому языку; уроки, лекции и т. п.').
Предложение построено некорректно. Возможны, например, варианты: На занятии понадобится пластилин и Для занятия понадобится пластилин.
Правильно: Список учащихся, пропускающих занятия по ... дисциплинам.
Возможны оба варианта в зависимости от значения, ср.: мое хобби – занятия аэробикой (т. е. систематические, целенаправленные, регулярные). Но: иду на занятие по аэробике (т. е. одно конкретное занятие).
Вряд ли такое употребление можно назвать грамотным.
Предложение составлено правильно.
Верно: кто из наших. У предлога из есть соответствующее значение (а у предлога с нет).
