Корректно: на тыльной стороне ладоней.
Допустимы оба варианта. Подробнее см. в ответе на вопрос № 243582.
Да, в данном контексте выражение "красные флаги" нужно заключать в кавычки, так как это выражение используется в переносном смысле.
Необходимости заключать это сочетание в кавычки нет.
Корректно: Советская армия, Российская армия.