Гласный при склонении не исчезает: Гашека, Чапека, Яначека и т. п.
Правильно: Редкая гадина была. Губчека.
Правильн: забирать ребенка из садика.
Относительное прилагательное от слова принц не образуется.
Кавычки не требуются, лучше: в обиходе называемое просто Лондонским королевским обществом.
1. Нет, корректно написание строчными буквами.
2. Корректно: Мюнхенская королевская академия художеств.
Это неоднородные приложения.
В названиях организаций, учреждений, обществ с большой буквы пишется первое слово: Лондонское королевское общество. Если название усечено до двух слов, с большой буквы пишется первое слово усеченного названия: Королевское общество.
Если имеется в виду научное Лондонское королевское общество, то верно: английское Королевское общество (слово английский не входит в официальное название организации).