Подходят оба глагола. Разводить можно не только животных.
Деепричастие не мешкая не выделяется запятыми: И я ей не мешкая ее отдал.
Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
К сожалению, абсолютно правильного подходящего варианта нет. Можно перефразировать: Он подарил ей цветок. Это были анютины глазки.
Да, это эллиптическое предложение. Следует заметить, однако, что в данном случае оно осложнено присоединительным оборотом, после которого естественна пауза, а потому корректный вариант постановки знаков препинания таков: Всех любителей и профессионалов, юных и не очень, — с наступающим!
Запятая не нужна.