Можно. Но лучше: написанная от руки записка.
Обычно употребляется первый вариант, тем более что сочетание проект закона часто заменяется на законопроект.
Исторически в слове препятствие выделяется приставка пре- со значением, близким к значению приставки пере- (у этой приставки есть значения перехода, передачи, превращения, преграды, деления надвое, взаимного действия), этим и объясняется написание с буквой е. Полный корень, представленный в этом слове (тоже с исторической точки зрения), — пин/пн/пя/пон: запинаться (препятствие, препинание), запнуться, запятая, запонка (препона).
Однако в современном русском языке приставка в слове препятствие уже не выделяется. Разбирая это существительное по составу с точки зрения современного языка, мы должны выделить корень препятств-.
Верно (в документах): проект Федерального закона "Такого-то". В публицистике возможно написание со строчной: проект федерального закона.
Правильно: «финансово-экономическое обоснование (чего?) проекта закона».
Тире поставлено верно. Возможно, слова вне закона лучше заключить в кавычки, так как они употребляются в переносном смысле.
См. в Проверке слова.
