Правильно: Императорская Академия наук. В этом историческом названии Академия – с прописной.
Верно: Академия государственной противопожарной службы.
Возможны оба варианта, но они различаются стилистически. Членом-корреспондентом – общеупотребительно и стилистически нейтрально; член-корреспондентом – допустимо в разговорной речи, но нежелательно на письме.
Правильно: Российская академия художеств.
Можно.
Лучше: Устав Института неорганической химии Российской академии наук.
Правильно: почетный член Императорской академии наук.