Правильнее разбить на слоги так: я-зык.
Сам язык как исторически сложившаяся система звуковых, словарных и грамматических средств, конечно, не может быть грамотным или неграмотным, хорошим или плохим. Но если слово язык употребляется в значении 'способ словесного выражения, свойственный кому-либо, индивидуальный стиль, слог', то такие сочетания допустимы. Например, не будет ошибкой сказать о ком-то, кто говорит красиво и грамотно, что он говорит на хорошем литературном языке.
Корректно: учитель русского языка.
Оба варианта возможны, употребление родительного падежа преобладает.
Если имеется в виду несколько соревнований, то лучше: одержать победу в нескольких соревнованиях.
Оба варианта возможны.
Оба варианта неудачны. Можно грамотно говорить, писать, изъясняться по-английски, по-русски.
