Оба варианта возможны во всех приведенных случаях.
Такая формулировка неудачна. Может быть, здесь опустить слово "умение"?
Корректно: заслуживающий доверия.
Первый вариант предпочтителен.
Правильно раздельное написание.
Толковые словари, например «Большой толковый словарь русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова, фиксируют оборот не внушать доверия.
Да, такое слово есть в русском языке. Чаще оно используется как методический термин.
Исходя из значений слов (голень – часть ноги от колена до стопы, икры – округлые мышцы на голени человека) лучше использовать слово голень.
Форма мн. ч. от мгновенья – мгновенья, от мгновение – мгновения. Это орфографические варианты; формы на -ье употребимы в разговорной и в поэтической речи.