Обычно употребляется форма мн. числа: глубокие соболезнования.
Верно: история со взломом.
Правильно: Благодаря системе глубокой очистки... Постановка запятой факультативна.
Следует писать раздельно.
Корректно раздельное написание: глубоко недоношенный ребенок. Однако в специальной (медицинской) литературе, где это слово используется в качестве термина, распространено слитное (глубоконедоношенный ребенок) написание.
Корректно: глубоко насыщенный, прозрачно-невесомый.
Как термины пишутся слитно.
Имидж страны - правомерное сочетание. Не забудьте убрать запятую перед союзом "как".