Написание слов можно проверять в наших электронных словарях (окно «Искать на Грамоте», набрать, например, *лечебница).
Вариант за водой общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Оба варианта корректны. Первый общеупотребительный, второй - народно-поэтический.
Эти сочетания корректны.
Правильно: Залить кипячёной водой. Залить некипячёной водой. Кипячёный здесь – отглагольное прилагательное, пишется с одной Н. Наличие приставки не- на количество букв Н в слове не влияет.
В данных предложениях с прописной буквы пишутся слова Античность и Средневековье.
Устойчивый оборот: тише воды ниже травы.