Оба варианта плохи.
Перед открывающими кавычками запятая не опускается. Если она нужна по условиям контекста, ее сохраняют: Центр помощи женщинам, оказавшимся в кризисной ситуации, «Доверие».
Оба варианта верны.
Оба варианта возможны во всех приведенных случаях.
Верно: ...за доверие, которое я не оправдал.
Вопрос "отчего" требует развернутого ответа, экскурса в историю русского ударения и произношения (есть и специальные монографии об этом, например труды М.В. Панова, Р.И. Аванесова и др.). Если коротко - нужно учить ударение в таких словах наизусть или сверяться со словарем.
Такая пунктуация возможна, если оборот с как имеет добавочное значение причины (Иванов отрешен от должности, потому что он утратил доверие президента).
Оба варианта правильны — с тире и без него. В эллиптических предложениях (самостоятельно употребляемых предложениях с отсутствующим сказуемым) тире ставится при наличии паузы и не ставится при её отсутствии.
