Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Правильно: вглубь острова, вглубь Арктики. Ср.: в глубь океана (=в глубину).
Правильно: остров Татышев.
Правильно не склонять: с острова Русский. Однако в разговорной речи нередко употребляются согласуемые формы: приехали с острова Русского.
Правильно: Остров свободы.
Оба варианта верны.