Мужская фамилия Баль склоняется, женская не склоняется.
Правильно без кавычек: наука правит бал.
Бали может использоваться как существительное мужского и среднего рода. Мужской род – по слову остров, средний род – по внешнему фонетическому облику названия.
В "Словаре имен собственных" Ф. Л. Агеенко: Бали, Гоа.
Предпочтительно придерживаться этих вариантов.
Корректно: сорок один балл с половиной; сорок один и пять десятых балла.
Устойчивое выражение: править бал.
Правильно: Девочка получила на ЕГЭ 71 балл.