Общее правило таково: после мягкого парного согласного, шипящего или ц без ударения пишется буква е, если под ударением в той же морфеме выступает ё или о. Ср.: кварцевый – пунцовый, почтовый (суффикс ев/ов), свежесть – злость (суффикс есть/ость), о хорошем – о большом, о крутом (окончание ем/ом), Францевич – Петрович (суффикс евич/ович). См. также «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Если в паспорте, свидетельстве о рождении отчество уже записано в форме Францович, эту форму придется сохранять.

Еще необходимо учитывать, что в прошлом написание гласных е, ё, о после шипящих и ц не было урегулировано, поэтому в старых книгах можно встретить ненормативные сегодня написания с буквой о после шипящих и ц. Иногда архаичные написания сохраняют при переиздании старых текстов.

Если имеется в виду значение "задний план", то верно просто: фон.

Верно: убийство эрцгерцога Франца Фердинанда.

Верно: баннер.

Предложение построено верно.

Предложение всегда начинается с большой буквы. Это один из признаков предложения.

См. в Проверке слова.