Вы совершенно правы. Для того чтобы подчеркнуть логические отношения между частями предложения, объединенными бессоюзной связью, необходимо поставить дфоеточие или тире: У нас ограниченные партии новых питомцев: поспешите, если хотите завести себе настоящую говорящую собаку! или У нас ограниченные партии новых питомцев —  поспешите, если хотите завести себе настоящую говорящую собаку!

Да, эту запятую нужно поставить, чтобы закрыть придаточную часть: Рассказал, что думаю о событиях в Йемене, «Международному обозрению» — лучшей, по-моему, нашей (а пожалуй, и не только) передаче о том, что происходит в мире. Обратите внимание, что между присоединительным союзом а и вводным словом пожалуй запятая не ставится.

В зависимости от общего контекста и ситуации возможны варианты:

1) Это эксперт — биолог Иван Иванов (если требуется поставить логическое ударение на слове эксперт; сочетание биолог Иван Иванов — приложение, которое поясняет, кто выступает экспертом в данном случае);

2) Это эксперт-биолог Иван Иванов (сочетание эксперт-биолог выступает постоянной характеристикой Ивана Иванова).

Приложения начальник отдела и физорг неоднородные (характеризуют человека с разных сторон), поэтому знаки препинания не требуются. При этом можно рассматривать сочетание физорг Алексей Степанович пояснением к сочетанию начальник отдела (особенно если основной темой текста является этот отдел) и поставить тире: За спортивный дух отвечает начальник отдела — физорг Алексей Степанович.

Вы правы, запятая не нужна, т. к. оборот несмотря на трудности тесно связан по смыслу со словом смеяться (смысл не в том, что его научили смеяться, а в том, что его научили смеяться несмотря на трудности, вопреки трудностям). Если поставить запятую, смысл изменится: Родители научили его смеяться, несмотря на трудности (испытываемые родителями).

Для постановки запятой после скобок нет оснований. Вместо запятой после слова внимание лучше поставить двоеточие. Сочетание применение услуг лучше заменить на подключение услуг. Для того чтобы избежать повтора слова дополнительный, можно написать, например, оно проверяется еще раз:

Обратите внимание: после любых действий с объявлением (редактирование или подключение дополнительных услуг) оно проверяется еще раз.

Определить тип придаточного предложения можно по вопросу. Вопрос "Какой?" соответствует определительному придаточному. Вопрос "Насколько, в какой мере?" соответствует придаточному степени.

Обратимся к Вашим примерам. В первом предложении придаточная часть поясняет сказуемое (был маленьким), поэтому к ней логично поставить вопрос "Насколько?". Во втором предложении придаточное относится к определению "такой", поэтому и вопрос будет определительным.

Рекомендуется: Получили ваше обращение. Пару минут — и вернусь к вам с ответом. Сочетание пару минут представляет собой дополнение в неполном предложении, восстанавливаемом как Дайте пару минут или Подождите пару минут. Со второй частью вернусь к вам с ответом оно составляет сложносочиненное предложение. Тире между его частями рекомендуется поставить для выражения значения результата, следствия.

В параграфе "Тире в бессоюзном сложном предложении" справочника Д. Э. Розенталя есть следующее правило: "Если вторая часть бессоюзного сложного предложения представляет собой присоединительное предложение, перед ней ставится тире: Души у вас нет, у вас самолюбие вместо души — вот что я вам скажу". Таким образом, в указанном Вами предложении также следует поставить тире.