В документах используется прописная буква. В публицистике возможно написание строчными.
Строчная буква - маленькая, а прописная - это большая, заглавная буква. Они обычно различаются размером и иногда начертанием.
Правильно: Тоненькая, стройная, в зеленом платье, она как будто вышла из хоровода.
Верно: это рай на земле.
Прописной называется большая буква, строчной – маленькая.
Правильно: Рождественские чтения (с прописной буквы как собственное наименование).
Верно с маленькой: по-суворовски.
Если, по мнению автора текста, запятые необходимы для выражения нужного смысла, они могут быть поставлены.
Вы правы, в бумажном варианте словаря так же. Увы, ни одно издание не обходится без опечаток. В словаре-справочнике Е. А. Левашова "Географические имена. Трудные случаи употребления" также указано: Шлезвиг-Гольштейн, Шлезвиг-Гольштейна. Этой рекомендации и следует придерживаться.
