Мягкий знак нужен. Правильно: о кошачьем любопытстве.
Для этого слова нет общепринятого графического сокращения. В любом случае мягкий знак в сокращении избыточен.
В словах Дарьюшка и Софьюшка мягкий знак выполняет разделительную функцию, то есть обеспечивает произношение на месте буквы Ю двух звуков речи - Й и У. В слове Илюша на месте буквы Ю произносится только один звук.
Да, мягкий знак нужен. Написание знакомтесь ошибочно.
Мягкий знак поставлен правильно.
Да, мягкий знак нужен. Правильно: ознакомьтесь.
В приведенном примере правильно без мягкого знака (можно поставить вопрос что сделает?). В неопределенной форме глагола корректно с мягким знаком: что сделать? – встретиться (должна встретиться).
Правильно: до новых встреч
Девушка права. Мягкий знак не пишется после шипящих в подобных звательных формах мужских и женских имен. Правильно: Миш, Наташ, Настюш, Ванюш, Катюш и т. п.
Мягкий знак не нужен.