Наречие легитимно существует. Можно встретить такие обороты: легитимно избрать (избранный), легитимно бороться, легитимно действовать. Значение этого наречия соотносительно со значением прилагательного легитимный, от которого оно образовано: 'законно', 'соответственно закону'.

В официальных документах предпочтительна форма мужского рода: исполняющий обязанности, действующий. В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода.

Правильно: комментаторы закона (хотя комментарии к закону).

Дефисное написание орфографических норм не нарушает. Напротив, иноязычные топонимы, которые в языке-источнике пишутся раздельно, в русском пишутся, как правило, именно через дефис, ср.: Нью-Йорк (англ. New York), Буэнос-Айрес (исп. Buenos Aires), Кутна-Гора (чеш. Kutná Hora). Дефисное написание будет правильным и в приведенных Вами примерах.

Смущает только двойное с в Гросс-Кёрис. Немецкое Groß в географических названиях обычно передают как Грос-, ср.: Гросглокнер (нем. Großglockner), Гросер-Арбер (нем. Großer Arber) – такие написания фиксирует «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко. По аналогии следует рекомендовать написание Грос-Кёрис.

Корректно: директора... действующего.

Корректное оформление: Словарь составлен на основе опыта преподавания авторами предметов «теория государства и права», «конституционное право России» и «административное право России» в юридических вузах с учетом действующих нормативно-правовых актов, теории государства и права.

Оборот "словарь составлен... с учетом теории государства и права" кажется нам сомнительным.

Корректно: 1. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Федеральный исследовательский центр «Институт ...............» (ИОФ РАН), именуемое в дальнейшем «Покупатель»... 2. ...в лице Генерального директора Гусевой Евгении Николаевны, действующего на основании...