В предложении Стороны остаются каждая при своем мнении сказуемое остаются при своем мнении. В нем остаются — полузнаменательная связка, при своем мнении — устойчивое словосочетание, именная часть сказуемого. 

«Прекратит работу» — это трансформация составного глагольного сказуемого «прекратит работать», где прекратит — фазисная связка. Замена инфинитива на отглагольное имя действия ничего не меняет.

В этом случае сравнительный оборот тесно связан со сказуемым, без него предложение не имеет смысла, а потому запятая не ставится: Ты начинаешь говорить в точности как мой психолог.

Судя по всему, присоединительная конструкция грамматически связана связью управление с существительным протяженность (протяженность автомобильных дорог (межселенных); протяженность автомобильных дорог в границах населенных пунктов), а потому правилен будет второй вариант.

Это сложное предложение с бессоюзной связью: в первой части предложения есть указание на условие совершения действия, обозначенного во второй части. В этом случае между частями сложного предложения ставится тире.

Оба предлога — и с целью, и для — выражают значение цели, поэтому обороты с ними однородны, их уместно соединить союзной связью: Исследование проведено с целью... и  для… .

В первом случае запятая факультативна.

Во втором случае для постановки запятой нет оснований.

Словарной фиксации нет. Для передачи значения, заключенного в слове всепроходимый, в языке существует слово вездеходный. Представляется, что слово всепроходимый возможно как элемент языковой игры в контекcтах, допускающих творческое обращение с языком.

Склонение названий Тушино, Строгино и т. п. правильно. См. подробно в «Письмовнике».

В этом предложении повторяющийся союз и... и имеет отчетливое градационное значение (= «не только свежие, но и застарелые пятна»), а потому запятую нужно поставить: ...отстирает и свежие, и застарелые пятна.