Действительно, за последние годы литературная норма несколько смягчилась. Хотя и во времена СССР у многих слов были равноправные варианты постановки ударения, общая тенденция замечена Вами верно. В последние десятилетия произошла своего рода «демократизация» нормы: многое из того, что раньше запрещалось словарями, теперь стало допустимым, а иногда и предпочтительным. Причин тому несколько.
Во-первых, орфоэпические словари прежде были ориентированы не только на широкий круг носителей языка, но и (и даже в первую очередь) на дикторов радио и телевидения, в речи которых не должно было быть никакого разнобоя. Поэтому варианты в большинстве случаев не указывались; двоякое ударение в словах приводилось только тогда, когда при всем желании невозможно было отдать предпочтение одному из вариантов. Сейчас же многие словари стремятся отразить динамику литературной нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка (например, дОговор, нет носок), но, несомненно, станут таковыми в будущем.
Во-вторых, изменилось отношение лексикографов к вариантности нормы. Вот, например, цитата из предисловия к орфоэпическому словарю русского языка 1959 года издания: «Наличие колебаний (вариантов) часто нарушает правильность речи и тем самым понижает доходчивость ее. Это особенно нетерпимо для различных форм устной публичной речи». Сейчас такая нетерпимость прошла; по мнению многих лингвистов, лексикографическая деятельность не должна сводиться «ни к искусственному консервированию пережитков языка, ни к бескомпромиссному запрещению языковых новообразований» (К. С. Горбачевич).
Наконец, перемены в языке наступили вслед за переменами в общественно-политической жизни. Сейчас пришло понимание того, что следование норме включает в себя и умение выбирать соответственно ситуации речевого общения. Другими словами, наряду с однозначными правилами норма предполагает и возможность выбора. Это различие очень удачно сформулировал Б. С. Шварцкопф (в статье о кавычках) как различие между правилом и правом. Право на выбор (в том числе и выбор варианта языковой единицы) и признание права другого носителя языка на иной выбор – это важнейшая составляющая речевого общения.

Почему Вы считаете вопросы одинаковыми? Вопросы разные, поэтому и ответы разные. В первом случае придаточные предложения соединены повторяющимся союзом и: Он сказал, что... и чтобы... и что... Во втором случае придаточные предложения соединены неповторяющимся союзом и: чтобы... и чтобы... При повторяющихся союзах между придаточными предложениями ставится запятая, если же придаточные соединены неповторяющимся союзом, запятая не ставится.

Это особенности профессиональной речи медиков. В профессиональных разновидностях русского языка нередко используются слова с особым, отличающимся от зафиксированного в общелитературной норме местом ударения: а́лкоголь, астро́ном, ато́мный, до́быча, искра́, компа́с, наркомани́я, осу́жденный, при́говор, ша́сси и др. За пределами общения в узком профессиональном кругу такое произношение расценивается как ненормативное.

1. Употребление слова привезти не ошибочно. 

2. Действительно, словарному значению слова тюбик емкость для помады не вполне соответствует, однако в современном языке общеупотребительного слова, называющего этот предмет, не существует. Сочетание тюбик помады довольно распространено. Например, оно встречается в текстах некоторых писателей XX-ХХI вв.: Среди пуговиц, ниток и ржавых наперстков отыскала тюбик губной помады (В. Астафьев. Пастух и пастушка. Современная пастораль); ...вынимает оттуда зеркальце и тюбик помады, подкрашивает губы (Э. Лимонов. Молодой негодяй); А в следующий раз я просто решила, что будет справедливо, если красивых тюбиков с губной помадой у нас с учительницей станет поровну (Д. Рубина. Дом за зеленой калиткой).У И. Ильфа и Е. Петрова, а также у Д. Рубиной встречается сочетание патрон помады, но оно не кажется стилистически нейтральным.  

Вариант хлеще зафиксирован во многих словарях, среди которых: «Русский орфографический словарь» РАН, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова, «Словарь трудностей русского языка» Н. А. Еськовой, «Орфоэпический словарь русского языка» (10-е изд. М., 2015). Если в орфографическом словаре даны варианты хлёстче и хлеще, то остальные издания, перечисленные нами, допускают три формы: хлёстче, хлестче, хлеще. Ни одна из них не является ошибочной.

1. Названия железнодорожных станций во всех случаях не выделяются кавычками. Правильно: «Станция Минутка».

2. Лучше выделить деепричастие торопясь запятыми. Обособлению способствует порядок слов в предложении.

Бабушка права лишь отчасти. Она права в том, что уменьшительное Вика от Виктор действительно существовало, оно до сих пор зафиксировано в словарях русских личных имен (см., например, «Словарь русских личных имен» Н. А. Петровского) – так же как и Витя от Виталий (см. фиксацию в том же словаре). Однако в современном русском языке Витя – основная уменьшительно-ласкательная форма от Виктор. Это норма, зафиксированная словарями.

В слове понять корень с чередованием я/им, ср.: понятый, понятный, понимать, понимание. Исторически по- является приставкой, при более этимологичном подходе к морфемному членению ее выделяют и сегодня, сопоставляя слова понять, понимать и унять, унимать, внять, внимать.

Для корней с чередованием а(я)/им/ем и а(я)/ин в орфографии есть правило. Его можно прочитать, например, в справочнике ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря». Там же можно найти множество слов с той же орфограммой. 

В орфографии и школьной традиции в слове предлагать выделяется корень с чередованием -лаг- (ср. предложить), соответственно пред- рассматривается как приставка (см., например, здесь). Безусловно, такое членение на современном этапе развития русского языка можно поставить под сомнение, есть основания выделять корень предлаг-. Составители пособия следуют за школьной традицией. 

С проблемами морфемного членения мы сталкиваемся и при разборе слова воплотить. Связь с родственным словом плоть не является очевидной. Однако если иметь в виду, что плоть понимается не только как 'тело живых существ', но и как 'материальное воплощение, проявление в вещественных образах, формах' (см. словарное толкование), то становится понятно, что в слове воплотить выделяется корень -плот-. 

Вы правы, правило часто формулируется так, что под него нельзя подвести слова с двумя приставками типа подызносить. Однако академические правила (то есть наиболее полные, детальные) учитывают данные слова. См. Полный академический справочник под ред. В. В. Лопатина, § 12, п. 2.