Такая запись неудачна. Если Вы хотите, чтобы текст был правильно воспринят всеми, то записать дату нужно в привычной форме. 

Если это часть предложения, верно: Какую бы должность вы ни занимали... (вам в любом случае нужно заполнить эту таблицу).

Эту фамилию можно склонять, если принять за начальную форму (им. п.) вариант Аронофский. В противном случае склонять не следует.

Эту фамилию склонять не только можно, но и нужно. Правильно: Вежновеца и Вежновца Дмитрия (предпочтительный вариант определяет обладатель фамилии).

Кавычки не нужны: написание латиницей уже достаточно выделяет эту фразу в русском тексте. Запятой вполне достаточно, тире не нужно.

Эту ошибку можно квалифицировать и как лексическую, и как грамматическую. Корректно: Квартира подойдет тому, кто ценит комфорт и спокойствие. 

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

Род буквенной инициальной аббревиатуры (читаемой по названиям букв) зависит от опорного слова в расшифровке аббревиатуры: МГУ (университет) принял новых студентов; ЕСПЧ (суд) высказался; СНГ (содружество) выступило с инициативой; РПЦ (церковь) призвала к прекращению кровопролития.

Поэтому корректно: НПК <название> (АО) приняла решение; ЗАО "ОЭЗ <название>" приняло решение..