В современном русском языке морфемный состав слова обыденность такой: корень обыденн- и суффикс -ость, у слова обыденный – корень обыденн- и окончание -ый (см.: Тихонов А. Н. Морфемно-орфографический словарь русского языка. М., 1996). Что касается истории этих слов, то первоначальное значение обыденный в древнерусском языке – 'сделанный в один день'; 'однодневный'. Слово происходит от сочетания *об-ин-день 'в один день', где ин < инъ 'один' (ср. др.-рус. инорогъ 'единорог'). Значение 'повседневный' у слова обыденный появилось позже. Сейчас корень -ден- у слов обыденный, обыденность уже не выделяется.

Вы разобрали это слово правильно.

Да, все так. Суффикс -ыш в русском языке есть, вот что пишет о нем академическая «Русская грамматика» (М., 1980): «Существительные с суф. -|и|ш, орфогр. -ыш (фонемат. |иш|), называющие действие, мотивированы префиксальными глаголами с компонентом играть: проигрыш, выигрыш, обыгрыш, подыгрыш, отыгрыш, наигрыш, розыгрыш (с отсечением конечной гласной инф. основы), а также глаголом выкидывать: выкидыш (с отсечением финали -ыва-)».

Употребление гласных в приставке раз-  (рас-) / роз- (рос-) не подчиняется общему правилу: безударный гласный здесь не проверяется ударением. Для этой приставки действует особое правило: в безударной позиции пишется буква а, хотя под ударением – только о: раздать, но розданный; расписать, расписной, но роспись; разливать, разливной, но розлив; разыграть, разыгранный, но розыгрыш. Именно поэтому, кстати, в слове разыскной следует писать а: здесь не действует проверка словом розыск.

Правильно: пять кочерёг.

См. в «Словаре трудностей»: Запасный и запасной.

Кругом - это наречие, в данном предложении является обстоятельством. См. в словарях.

Вы спрашиваете о синтаксическом разборе, поэтому аргументы из области того, что говорящий имеет в виду, недействительны. Говорящий своим ответом в самом деле сообщает о том, где кот, но делает это косвенным образом, полагая, что слушающий поймет: раз кот ест — значит, он на кухне у своей миски. Но это вывод слушающего из того, что сказано, и подменять собой члены предложения подобный вывод не может. Безусловно, ест — сказуемое.

Кстати, подобная экономия речевых усилий может быть и небезобидна. Если участники диалога находятся в некооперативных отношениях, то ответная реплика «Ест» может ввести собеседника в заблуждение: тот может подумать, что кот мирно ест из своей миски свой сухой корм, а на самом деле кот может доедать котлету, которую он утащил со сковородки собеседника (я с подобными разбойниками знаком, и о таких котах великолепно писал Паустовский). Последствия недоговоренности в таком случае могут быть весьма неприятны.

Полагаем, что лучше запятые поставить. Глагол в предложении полнозначный, у оборота есть сравнительное значение. 

Лучше поставить запятые:

...За стежком шью стежок кропотливо.
Солнце, верный помощник мой, светит.
Я стараюсь, чтоб было не криво
И не смог разорвать его ветер...