Верно: на предприятии.

Это устаревшее употребление предлога о (при характеристике кого-, чего-л. путем указания на количество входящих в него или составляющих его частей, деталей, элементов и т. п.). В современных текстах предлог о используют в этом значении для стилизации, имитации народной речи либо в ироническом смысле.

Подобное пунктуационное оформление допустимо, представляет собой графический прием авторского выделения фрагментов предложения и отражает намерение автора указать на статус информации (дополнительная, поясняющая, уточняющая), выраженной словами в скобках. Синтаксическая квалификация конструкции зависит от грамматических особенностей предложения и смысловых признаков входящих в его состав компонентов.

По общему правилу служебные элементы (артикли, предлоги) ван, да, де, ле и т. п., входящие в состав иноязычных фамилий, пишутся со строчной буквы. С прописной буквы эти элементы пишутся по традиции лишь в некоторых именах (например, Шарль Де Костер), написание которых проверяется по орфографическому словарю.

В названиях учреждений, организаций, обществ и т. д. с большой буквы пишется первое слово названия и входящие в его состав имена собственные. Правильно: Российский детский фонд, Благотворительное общественное движение «Название», Международный благотворительный фонд «Название» (если слова Благотворительное  и Международный начинают собой официальные названия организаций).

Учитель неправ. Оба варианта переноса верны. Группа неодинаковых согласных букв в середине слова, входящих в корень или образующих стык корня и суффикса, может быть разбита переносом любым образом. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. М., 2016. § 217.

С прописной буквы пишется первое слово в названии Периодическая система элементов Менделеева. Однако названия законов (объективно существующих необходимых связей между явлениями) пишутся строчными, с прописной пишутся только имена собственные, входящие в название: закон всемирного тяготения, закон Архимеда, периодический закон Менделеева (и просто периодический закон).

Слова сейм  и сенат, входящие в составное наименование, пишутся со строчной буквы (Польский сейм, Польский сенат). С прописной буквы пишется первое (или единственное) слово усеченного названия, если оно употребляется вместо полного. Поэтому правильно: Польский сенат призвал Сейм сделать 11 июля Национальным днем памяти жертв геноцида.

Орфографически верно: XIII Зимний (зимний) Суриковский фестиваль.

С прописной буквы пишутся имена прилагательные на -ский, входящие в состав наименований — имен собственных, в том числе имеющие значение «имени того-то», «памяти того-то». Так же пишутся названия политических, культурных, спортивных и других мероприятий, имеющих общегосударственное или международное значение.