В этом случае заметно — слово категории состояния (предикатив, предикативное наречие). Отрицание при таких словах часто является подчеркнутым, что предполагает раздельное написание не: самолетов не видно, не слышно, не заметно.

Это ошибка. После слов два, три, четыре, когда они или включающие их составные количественные числительные стоят в форме именительного или винительного падежа, требуется форма родительного падежа единственного числа. Однако сочетание 23 лет возможно, если числительное и следующее за ним существительное стоят в форме родительного падежа: мне уже больше 23 (двадцати трех) лет.

Это слово может писаться с прописной (большой) буквы в текстах документов (например, договоров), если в начале текста указано, что это слово заменяет полное официальное название организации, например: Договор заключен между компанией «Ромашка» (далее — Компания) и Ивановым Иваном Ивановичем...

Также это слово пишется с большой буквы в начале предложения и если является первым в собственном наименовании, например: ООО «Компания "Ромашка"».

Слово данный действительно часто употребляется в официально-деловой и научной речи, поэтому его использование может придавать тексту канцелярский оттенок. В некоторых словарях прилагательное данный сопровождается пометой книжн. Однако это не означает, что его использование в текстах иных стилей недопустимо. В составе некоторых выражений (например, в данном случае, в данный момент, в данной ситуации, на данном этапе) его употребление можно считать устойчивым. 

В издательской практике приняты разные варианты оформления ссылок. Сокращенное название, данное в квадратных скобках, можно не обозначать многоточием: [Объяснительная записка, 1996].

Вне официального контекста корректно написание строчными буквами: президент, председатель правительства.

Согласно правочнику В. В. Лопатина, в начале предложения не разделяются запятой сочинительный и подчинительный союзы.

По справочнику Д. Э. Розенталя, после союза но запятая ставится при наличии паузы между союзами и не ставится, если паузы нет.

Таким образом, можно найти аргументы и в пользу запятой, и против нее.

Предложение Он поспешно вложил горшочек... можно написать с нового абзаца.

Присоединимся к последнему утверждению. Можно дополнить фразу, вводящую список, словами: ...несет ответственность за следующее: <...>.

Существительное помывка разговорно-сниженное, поэтому в официальной речи оно неуместно. Его можно заменить на слова мойка, мытье.