Литературная норма: (жить) на Ямайке, в государстве Ямайка. Кодификации варианта "в Ямайке" нам обнаружить не удалось (что, правда, не делает приведенный Вами вариант предложного управления ошибочным, ненормативным). 

Корректно: стирательная резинка, резинка, ластик (впрочем, некоторые лексикографы считают, что это наименование носит разговорный характер). Стёрка, стирка, стирашка, гумка, клячка, клачка и др. — просторечные и региональные наименования этого предмета. 

Фраза проблема находится в центре внимания корректна. Та же фраза с глаголом стоять менее удачна. Наш совет: не ограничивайтесь шаблонами, придумывайте оригинальные вступления. Имейте в виду, в исходных текстах для сочинения далеко не всегда в центре внимания находится одна проблема.

Слово пока не фиксируется академическим орфографическим словарем, но полагаем, что корректно шаурмичная.

Существительные и прилагательные на ечн(ый, ая) могут появляться при образовании слова (1) с помощью суффикса -н- от основы на -ек, где к чередуется с ч (чебурек — чебуречный — чебуречная), (2) от основы на к, чередующегося с ч, перед которым появляется беглый е (прачка — прачечный — прачечная). 

Сочетание -ичн(ый, ая) встречается в словах, образованных от существительных с основой на -ик или -иц где к и ц чередуется с ч, например: вареник — вареничная, пряник — пряничный, розница — розничный, гусеница — гусеничный. Помимо этого, есть слова с суффиксом -ичн(ый). Они образуются от других основ, например: год — годичный, сцена — сценичный, сфера — сферичный. 

Слово шаурмичная ближе к последней модели, так как образуется от слова шаурма. 

Целесообразность употребления буквы й в свое время тоже вызывала вопросы. Например, хорватский ученый Юрий Крижанич предлагал исключить ее из русского алфавита, употреблять вместо нее букву ь (писать, например, пеьте, краь, стоь). Правда, это было давно, еще в XVII веке (букву й начали употреблять как раз в XVI – XVII вв, до того писали обычное и). В 1735 году буква й официально была введена в русскую азбуку.

У буквы й свои приключения в русском языке. Они связаны с тем, что далеко не все носители языка могут правильно ответить на вопрос: какой звук обозначает эта буква – гласный или согласный? Многие ошибочно полагают, что гласный (она ведь называется «и краткое», а и обозначает гласный звук). На самом деле буква й передает согласную фонему <j>, а называется «и краткое» потому, что составлена из буквы и и значка, называемого кратка.

На наш взгляд, фраза продолжить рандеву корректна.

Правильно: пачка макарон.

Правильно: у Марка Твена.