Правильно: Лиски спортивные. Сравним данные «Словаря собственных имён»:

Ли́ски, -сок

Верно согласование со словом несоблюдение: Работник несёт ответственность за несоблюдение требований по охране труда и промышленной безопасности, Правил пожарной безопасности, повлекшее тяжкие последствия.

Названия рек согласуются с родовым наименованием: на реке Мзмыте.

Исторически в слове препятствие выделяется приставка пре- со значением, близким к значению приставки пере- (у этой приставки есть значения перехода, передачи, превращения, преграды, деления надвое, взаимного действия), этим и объясняется написание с буквой е. Полный корень, представленный в этом слове (тоже с исторической точки зрения), — пин/пн/пя/пон: запинаться (препятствие, препинание), запнуться, запятая, запонка (препона).

Однако в современном русском языке приставка в слове препятствие уже не выделяется. Разбирая это существительное по составу с точки зрения современного языка, мы должны выделить корень препятств-.

Возможны варианты: документ подписан ректором, действовавшим на основании приказа ректора или документ подписан ректором, действующим на основании приказа ректора. Выбор формы причастия зависит от актуальности полномочий ректора.

Верно использование дефиса: стритфуд-кафе «Вкусный дворик».

Кодификация этого заимствованного слова менялась. Прежде «Русским орфографическим словарем» РАН было установлено написание сэнсэй (и мы отвечали, что следует писать так, ориентируясь на словарную рекомендацию). Но теперь академический орфографический словарь фиксирует написание сенсей, его и следует выбрать. Колебания в написании недавно вошедших в русский язык слов — совершенно нормальный и естественный процесс.

Имена и фамилии, оканчивающиеся на -е, не склоняются. Фамилия Стеля склоняется по образцу существительных первого (по школьной грамматике) склонения. Правильно так:

Стеля Виталие
Стели Виталие
Стеле Виталие
Стелю Виталие
Стелей Виталие
о Стеле Виталие

Возможны оба варианта.

Правильно: в Государственной... академии.