Правильно: испокон веков. Слово испокон происходит от древнерусского поконъ 'начало', того же корня, что искони 'вначале', конец. О родстве слов начало и конец см. в ответе на вопрос № 208821.
Правильно: конец XVIII — начало XIX века.
Слова про машинки могут выступать в роли пояснения («та игра, а именно игра про машинки») и обособляться: Из готовых работ пока имеется та игра, про машинки, с урока информатики.
Но это необязательно. Если пояснительной интонации нет, то запятые не нужны: Из готовых работ пока имеется та игра про машинки с урока информатики.
Правильно: генеральные консульства (во множественном числе пишем строчными), московский городской голова.
Правильно в кавычках: «Могучая кучка».
Оба варианта корректны.
Запятая не нужна.
Стилистически нейтрально: мытьё окон. Слово помывка разговорно-просторечное.
