Корректно: на олимпиаде.

См.  в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации», а также ответ № 186225 .

Корректно согласование по смыслу, то есть в единственном числе и соответствующем роде: Вы почувствуете себя уставшей; Вы останетесь одна (лучше: в одиночестве).  

Этот вопрос регулируется не правилами русского языка, а сложившейся традицией оформления документов. Формально по правилам здесь как раз не требуется большая буква (это не начало предложения, расшифровка суммы прописью не является собственным наименованием и т. д.). Но в документах — в первую очередь в бухгалтерских документах, заполняемых от руки, — сложилась традиция писать первое слово в расшифровке суммы с большой буквы, чтобы исключить возможность приписать что-то впереди и тем самым подделать документ. В других документах обычно пишут так же — с  большой буквы в именительном падеже.

Можно использовать кавычки разного рисунка (вневние и внутренние) или оставить только одни закрывающие кавычки.

Верно с двумя н: Копченная на ольхе соль.

В этом предложении слово одна является прилагательным.

Запятая после «одной из сторон» не нужна. 

При наличии союза ни возможна двоякая форма согласования сказуемого с однородными подлежащими, например:

а) Ни он, ни она ни слова не промолвили… (Тургенев); Сюда не проникали ни свет, ни жара (в обоих примерах сказывается принадлежность подлежащих к различному грамматическому роду); Ни он, ни я не искали этой встречи (влияет значение лица);

б) Ни сжатие, ни охлаждение не помогло; Ни отсутствие одних, ни присутствие других не изменило хода дела (в обоих примерах имеет значение то обстоятельство, что подлежащие выражены отвлеченными существительными); И никакой ни черт, ни дьявол не имеет права учить меня… (Чехов).

В Вашем случае предпочтительно: Им не понравились ни замечание куратора, ни его снисходительный тон. С ним не переписывались ни брат, ни сестра.