Этот оборот обычно не требует постановки кавычек.

Ответ Справочной службы оказался излишне лаконичным. Действительно, через дефис пишутся слова с первой частью кросс-, вторая часть которых содержит самостоятельно употребляющийся в современном русском языке корень: кросс-культурный, кросс-продажи, кросс-чек и т. п. Однако в тех случаях, когда слово, начинающееся с кросс-, не содержит такого корня, следует выбирать слитное написание: кросспостинг, кроссфит, кроссбридинг и т. п.

Словарями это слово не зафиксировано, но можно предположить, что оно состоит из приставки прото- [< греч. prōtos первый] 'первая составная часть сложных слов, обозначающая: первоначальный, первичный, напр. проторенессанс'  и сравнительно недавнего заимствования квир — 'термин, используемый для обозначения человека, чья сексуальность и/или гендерная идентичность отличаются от большинства'. Так, протоквир-теоретиком называют Мишеля Фуко, размышлявшим на подобные темы задолго до появления термина квир. 

Чтобы разобрать эти слова по составу, необходимо воспользоваться следующим алгоритмом:

1) изменив слово по падежам, выделить окончание и основу;

2) подобрав однокоренные слова, выделить корень;

3) определив, как образуются эти слова, установить, один или два суффикса в них содержится. 

Подсказка: выполняя третий шаг, не забудьте о частотных чередованиях согласных ч//к и о таком явлении, как беглость гласного.

1. В слове солнечный  выделяют корень -солнеч-, в котором е – беглая гласная, а ч чередуется с ц (ср.: солнце), суффикс прилагательного -н- (ср.: солнце – солнечный, молоко – молочный, мышцы – мышечный) и окончание -ый.

2. О склонении фамилий Вы можете прочесть в «Письмовнике».

3. Существует две фамилии с ударным последним слогом: Чернышов и Чернышёв. Написание фамилий определяется традицией. 

С исторической точки зрения в греческом по происхождению слове протагонист можно выделить часть прот- (греч. πρῶτος «первый») и часть агон(ист) (греч. ἀγωνίζομαι «состязаюсь», ἀγωνιστής «борец») — этот же корень можно увидеть в словах агония, агон (состязание).