По правилам тире не нужно, но допускается авторское интонационное тире.
Нет. Во-первых, слова диета и пост различаются по значению; во-вторых, само сочетание я на посту (в значении "я соблюдаю пост") невозможно.
Правильно. Правописание можно проверять в «Искать на Грамоте», набрав бал*ный.
Склоняется. Это легко проверить в наших электронных словаря, набрав слово в окне «Искать на Грамоте».
Следует писать раздельно: не согласен.
Предпочтительное написание: считаю неверными.
Не обособляется частица чай, подчеркивающая достоверность высказывания (то же, что ведь, все-таки). Но выделяется запятыми вводное слово чай, выражающее допущение, предположение (то же, что вероятно, пожалуй): Озяб, чай?
В Вашем примере запятая не нужна: Чай я не барыня какая (= я ведь не барыня).
Запятая перед одиночным сочинительным союзом, соединяющим два вопросительных предложения, не нужна. См. пункт 5 параграфа 112 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
