Склоняются обе части.

Это зависит от контекста (Петр и Иван Савчицы, но Анна и Вера Савчиц). 

Конечно, можно. Что здесь в значении 'который'. Например:

И та, что сегодня прощается с милым, –
Пусть боль свою в силу она переплавит.
Мы детям клянемся, клянемся могилам,
Что нас покориться никто не заставит!

(Анна Ахматова)

Эти сочетания пишутся строчными без кавычек: золотая свадьба, серебряная свадьба и т. д.

В словарях зафиксировано только прилагательное курсовой (с ударным последним слогом). Значит, в обоих примерах форма будет одинаковая: курсовАя терапия, курсовАя работа.

Обычно такое приветствие используют в интернете, если не знают, в какое время суток адресат прочтет сообщение. В непринужденной речи такое употребление допустимо. Но если вы пишете деловое, официальное письмо, подобное приветствие использовать не следует.

Общее правило: если склоняются оба компонента сложного слова, то род определяется по тому компоненту, который является "центральным", главным по смыслу. Шина-воротник - это "какая шина" (в виде воротника) или "какой воротник" (в виде шины)? Скорее, первое, так что корректно согласование по женскому роду. С креслом-коляской сложнее, но в таких случаях, как правило, род определяется по первому компоненту, так что корректно согласование по среднему роду.

Это вполне закономерная форма. См., например: Жизненная мудрость состоит в том, чтобы обедать куском черного хлеба и есть его с наслаждением [А. А. Фет. Мои воспоминания / Часть I (1862-1889)]; Когда они вошли, девочка в одной рубашечке сидела в креслице у стола и обедала бульоном [Л. Н. Толстой. Анна Каренина (1878)] и т. п. 

Предложение Владимир Зельдин в заглавной роли в спектакле "Учитель танцев" вполне корректно. Заглавная роль — это роль персонажа, который указан в заглавии пьесы. Чаще всего это действительно имя собственное (заглавная роль в романе "Анна Каренина"), однако обозначен он может быть и иным способом (заглавная роль в сериале "Идиот"). 

Наречие круго́м используется здесь в значении "целиком и полностью", в современном русском языке оно оценивается как разговорное: Петрицкий был молодой поручик, не особенно знатный и не только не богатый, но кругом в долгах (Л. Н. Толстой, Анна Каренина); Выходит, я кругом прав, — без улыбки говорил дядя Коля (А. Фадеев, Молодая гвардия).