Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной (папа римский).
Существительное ара 'попугай' несклоняемое. Правильно: мы повстречали голубого ара.
Возможны оба варианта.
Употребление слова пара в значении 'небольшое количество, несколько' допустимо в разговорной речи (это отмечает, например, Большой толковый словарь русского языка). Обратите внимание на грамматическую ошибку в приведенных Вами примерах. Корректно (в разговорной речи): пара седых волос появилась, упала пара капель вина.
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Словарь имён собственных
По школьной классификации эти слова относятся к первому склонению.
Правильно: на первых порах (в значении "в первое время").
Такая пунктуация возможна.
